Queremos formar un castillo de cartas. La longitud de cada uno de los naipes es 
y su masa es 
. Las cartas se colocan formando un ángulo 
con el suelo.
1.Para empezar, juntamos dos cartas tal y como se ve en la figura 1a. Calcula el mínimo valor del coeficiente de fricción estático necesario.
2.A continuación, repetimos la misma estructura y situamos encima una carta horizontal, como vemos en la figura 1b. ¿Cuál es el nuevo valor mínimo para el coeficiente de rozamiento?
3.Por último, utilizamos 
columnas formadas por dos cartas. Sobre ellas, situamos 
naipes horizontales, como vemos en la figura 1c. ¿Cuál es ahora el coeficiente de rozamiento dinámico necesario? Supón que el peso de las cartas horizontales se distribuye de forma uniforme.
Comencemos por hacer el diagrama de cuerpo libre de una carta y enumerar las fuerzas aplicadas sobre ella:
- Peso, mg. Aplicado en el centro de masas (color oro en el diagrama).
- Fuerza de rozamiento, f. Aplicado en el punto de contacto con el suelo. La dibujamos hacia la derecha ya que al caer la carta, el punto de contacto tiende a desplazarse hacia la izquierda.
- Fuerza normal con el suelo, N.
- Fuerza de contacto con la otra carta (reacción), R. Aplicada sobre el punto superior (color rojo en el diagrama)
- Peso de las cartas horizontales, p. Aplicada sobre el punto superior (color azul en el mapa). Sólo aparece en el segundo y tercer apartado.
El sistema será estable si la suma de todas las fuerzas y torques es cero. En la dirección vertical, el peso y la normal deben compensarse,
En la dirección horizontal, la reacción de la otra carta debe ser compensada por la fuerza de fricción,
En tercer lugar, la suma de todos los momentos de fuerza también debe anularse. Podemos calcular el momento respecto de cualquier punto, el resultado final del problema debe ser el mismo. Para simplificar el cálculo, tomaremos como origen el punto de contacto de la carta con el suelo, de esta forma el rozamiento y la normal no contribuyen al momento.
El torque se define como el producto vectorial entre el vector que describe el punto de aplicación y la fuerza,
El módulo es igual a la distancia desde el origen hasta el punto de aplicación, 
, multiplicado por el módulo de la fuerza y el seno del ángulo entre ambos vectores (tomado en el sentido más corto),
Si nos limitamos a calcular el módulo, debemos añadir el signo a mano siguiendo un convenio. Nosotros eligiéremos positivos los momentos que tienden a provocar un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj. La figura 2 nos ayudará a obtener el ángulo necesario en cada caso.
Figura 2. Ángulos necesarios para el producto vectorial. (Haz click para ver la imagen a tamaño real)
Como hemos dicho, como el rozamiento y la normal se aplican sobre el origen (distancia 0), no producen momento. Comencemos por calcular el torque ejercido por el peso. El punto de aplicación esta a una distancia 
, por lo que tenemos
Donde hemos elegido el signo negativo ya que el peso tiende a hacer girar la carga en el sentido de las agujas del reloj. En el caso de la fuerza de reacción tenemos
Nota: Algunos alumnos tienen dificultades al realizar este tipo de cálculos con ángulos. Siempre podemos recurrir a realizar el producto vectorial completo. Hagamos el ejemplo del peso. El vector de posición es 
, mientras que el peso es 
, con lo que tenemos
Por lo tanto, si forzamos que la suma de momentos es cero obtenemos nuestra tercera ecuación
Además, como nos queremos situar en el caso límite, impondremos que la fuerza de rozamiento es la máxima posible, 
.
Ya podemos comenzar a resolver ecuaciones. De (1) tenemos 
. De (2) obtenemos 
. Si metemos todo esto en (8) obtenemos
de donde obtenemos
En este apartado añadimos una carta soportada por dos columnas, cada una formada por dos cartas. Suponiendo que el peso de la carta superior se reparte de forma equitativa entre cada una de las cuatro cartas que la soportan (dos por cada columna), la fuerza a añadir en nuestro diagrama de cuerpo libre es 
. Esta nueva fuerza entra en nuestras ecuaciones de forma prácticamente idéntica al peso, con la salvedad que su punto de aplicación está a una distancia . Por lo tanto, nuestro nuevo sistema de ecuaciones es
Utilizando la primera, segunda y cuarta ecuación tenemos
Metiendo todo esto en la tercera ecuación,
de donde obtenemos
Como es natural, en este caso el coeficiente de fricción necesario es ligeramente superior al apartado anterior.
El peso total del segundo piso, 
, se reparte sobre las 
cartas que forman las columnas. Por lo tanto, en este caso
Las ecuaciones son completamente análogas a las del caso anterior, tenemos
La primera ecuación nos da
Con esto, la segunda y cuarta ecuación nos dan
Antes de insertar esto en la tercera ecuación, simplifiquemosla un poco
Ahora sí, usando el valor de R tenemos
Por lo tanto, tenemos
Por supuesto, substituyendo 
y 
recuperamos los resultados de los apartados anteriores.
