La web de Física - Números Reales

Jorge A. Chávez S. - N30F3B0

1. Resumen

En estos apuntes se presentan a modo de formulario, la definición axiomática de los números reales así como algunas de sus propiedades y definiciones importantes.

2. Conjunto de los números reales

Definición 1 (Axiomas de los números reales)

El conjunto de los números reales \mathbb{R} es un cuerpo ordenado y completo provisto de dos operaciones + (suma) y \cdot (multiplicación) donde existen dos elementos 0 y 1, así como un conjunto \mathbb{Z}^+\subset\mathbb{R} tal que:

1. a+b=b+a y ab=ba \forall a,b \in \mathbb{R}

2. a+(b+c)=(a+b)+c y a(bc)=(ab)c \forall a,b \in \mathbb{R}

3. a(b+c)=ab+ac \forall a,b \in \mathbb{R}

4. a+0=a y a\cdot 1=a \forall a \in \mathbb{R}

5.
Para cada a \in \mathbb{R},\exists b\in \mathbb{R}/a+b=0,b=-a
Para cada a \in \mathbb{R},\exists b\in \mathbb{R}/ab=1,b=a^{-1}

6. Dados a,b \in \mathbb{Z}^+ entonces si a+b\in\mathbb{Z}^+; ab\in\mathbb{Z}^+. Los elementos de \mathbb{Z}^+ son llamados positivos.

7. Dado a\in\mathbb{R}, se cumple solo una de las siguientes posibilidades a\in\mathbb{Z}^+,a=0,-a\in\mathbb{Z}^+

Definición 2 (Relación de orden)

Se define a<b\Longleftrightarrow b-a\in\mathbb{Z}^+

8. Sea A\subset \mathbb{R}, un subconjunto no vacío y que existe un c\in\mathbb{R} tal que a\leq c,\forall a\in \mathbb{R}. Entonces existe un número mayor a cualquier elemento de A tal que es menor o igual que cualquier otro número mayor a cualquier elemento de A

Definición 3 (Resta)

\displaystyle \dst a-b=a+(-b)
(1)

Definición 4 (División)

\dst\frac{a}{b}=ab^{-1},b\neq 0

3. Algunas propiedades importantes

Sean a, b, c, d, x números reales

1. a\cdot0=0

2. ab=0 si y solo si a=0 ó b=0

3. a^2=b^2 si y solo si a=b ó a=-b

4. Si a<b y c<d\Longrightarrow a+c<b+d

5. Si a<b y c<0\Longrightarrow ac>bc

6. Si a\neq 0\Longrightarrow a^2>0

7.
ab>0\Longleftrightarrow a y b tienen el mismo signo.
ab<0\Longleftrightarrow a y b tienen signos opuestos

8. Si a y b tienen el mismo signo y a<b\Longrightarrow a^{-1}>b^{-1}

9. Si a>0 y b\geq0 entonces a^2>b^2\Longleftrightarrow a>b

10. Dado x ,y \in \mathbb{R}/ x<y \Longrightarrow \exists u \in \mathbb{Q} \wedge \exists v \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} / x<u<y \wedge x < v < y

11. Dados a_1,a_2,\cdots,a_n y b_1,b_2,\cdots,b_n \in\mathbb{R} y n\in \mathbb{N} se cumple

\displaystyle \dst(a_1 b_1 + a_2 b_2 +.....a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 +.....a_n^2) ( b_1^2 + b_2^2 +.....b_n^2)
(2)

Definición 5 (Raíz de un número positivo)

Sea a>0, n \in \mathbb{N}. Definimos \sqrt[n]{a} como siendo el único número real positivo tal que:

\displaystyle \dst(\sqrt[n]a)^n=a
(3)

Si a=0 definimos \sqrt[n]{a}=0

12. Si b\geq 0 entonces a^2>b \Longleftrightarrow a>\sqrt b ó a<-\sqrt b

13. Si b\geq 0 entonces a^2<b\Longleftrightarrow -\sqrt b<a<\sqrt b

14. Dados x_1,x_2,\cdots, x_n\in\mathbb{R} y n\in \mathbb{N} se cumple que:

\displaystyle \dst\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+.......x_n}{n}
(4)

Definición 6 (Valor absoluto)

El valor absoluto de un número real se denota por |a| y se define así:

\displaystyle \dst |a|=\left\{\begin{array}{ccc} a&\mbox{si}&a\geq 0\\ -a&\mbox{si}&a<0\\ \end{array}\right.
(5)

15. |a|= 0 \Longleftrightarrow a=0

16. \sqrt{a^2}=|a|, para todo a\in \mathbb{R}

17. |ab|=|a||b|

18. Desigualdad Triangular

\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|
(6)

19. |a|=b \Longleftrightarrow b\geq0\wedge [a=b\vee a=-b]

20. |a|=b\Longleftrightarrow a=b o a=-b

21.

|x|\leq a\Longleftrightarrow[a\geq0\wedge -a\leq x\leq a]

|x|< a\Longleftrightarrow[a<0\wedge -a< x< a]

|x|\geq0\Longleftrightarrow x\geq a \vee x\leq-a

|x|>0\Longleftrightarrow x> a \vee x<-a

22.

|a|\leq|b|\Longleftrightarrow(a+b)(a-b)\leq0

|a|<|b|\Longleftrightarrow(a+b)(a-b)<0

|a|\geq|b|\Longleftrightarrow(a+b)(a-b)\geq0