\documentclass[a4paper,oneside]{article}
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\usepackage{url} 

\title{Funciones especiales}
\author{Barbol}

\begin{document}

\section{Funciones de Legendre}

Gráficas de los primeros polinomios de Laguerre se pueden encontrar en las siguientes URLs:
\begin{itemize}
\item\url{http://www.sali.freeservers.com/images/engg/legendre.gif}
\item\url{http://www.efunda.com/math/legendre/images/LegendrePPlot.gif}
\end{itemize}


\subsection{Ecuación diferencial}

\begin{equation}
(1-x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0
\end{equation}

\subsection{Ecuación diferencial (forma de Sturm-Liouville)}

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[\left(1-x^{2} \right)\frac{dy}{dx}\right]+n(n+1)y=0
\end{equation}

\subsection{Fórmula de Rodrigues}

\begin{equation}
P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n}
\end{equation}

\subsection{Función generatriz}

\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^{n}
\end{equation}

\subsection{Fórmula de recursividad}

\begin{equation}
(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)
\end{equation}

\subsection{Ortogonalidad}

\begin{equation}
\int_{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}
\end{equation}

\newpage
\section{Funciones de Legendre asociadas}

\subsection{Ecuación diferencial}

\begin{equation}
(1-x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x\frac{dy}{dx}+\left[n(n+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]y=0
\end{equation}

\subsection{Ecuación diferencial (forma de Sturm-Liouville)}

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[\left(1-x^{2} \right)\frac{dy}{dx}\right]+\left[n(n+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]y=0
\end{equation}

\subsection{Fórmula de Rodrigues}

\begin{equation}
P_{n}^{m}(x)=\frac{(1-x^{2})^{m/2}}{2^{n}n!}\frac{d^{m+n}}{dx^{m+n}}(x^{2}-1)^{n}
\end{equation}

\subsection{Función generatriz}

\begin{equation}
\frac{(2m)! \, (1-x^{2})^{m/2} \, t^{m}}{2^{m}\, m! \, (1-2tx+t^{2})^{m+1/2}} = \sum_{n=m}^{\infty} P_{n}^{m}(x) \, t^n
\end{equation}


\subsection{Fórmula de recursividad}

\begin{equation}
(n-m)P_{n}^{m}(x)=x(2n-1)P_{n-1}^{m}(x)-(n+m-1)P_{n-2}^{m}(x)
\end{equation}

\subsection{Ortogonalidad}

\begin{equation}
\int_{-1}^{1}P_{n}^{m}(x)P_{n'}^{m'}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}\delta_{nn'}
\end{equation}

\newpage
\section{Funciones de Laguerre}

Gráficas de los primeros polinomios de Laguerre se pueden encontrar en las siguientes URLs:
\begin{itemize}
\item\url{http://mathworld.wolfram.com/l1img409.gif}
\item\url{http://www.aero.ufl.edu/\~{}uhk/laguer.jpg}
\end{itemize}

\subsection{Ecuación diferencial}

\begin{equation}
x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+(1-x)\frac{dy}{dx}+ny=0
\end{equation}

\subsection{Ecuación diferencial (forma de Sturm-Liouville)}

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[\left(xe^{-x} \right)\frac{dy}{dx}\right]+ne^{-x}y=0
\end{equation}

\subsection{Fórmula de Rodrigues}

\begin{equation}
L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x})
\end{equation}

\subsection{Función generatriz}

\begin{equation}
\frac{e^{-\frac{xt}{1-t}}}{(1-t)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{L_{n}(x)}{n!}t^{n}
\end{equation}

\subsection{Fórmula de recursividad}

\begin{equation}
(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)
\end{equation}

\subsection{Ortogonalidad}

\begin{equation}
\int_{0}^{\infty}L_{m}(x)L_{n}(x)e^{-x}\,dx=\delta_{mn}
\end{equation}

\newpage
\section{Funciones de Laguerre asociadas}

\subsection{Ecuación diferencial}

\begin{equation}
x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+(k+1-x)\frac{dy}{dx}+ny=0
\end{equation}

\subsection{Ecuación diferencial (forma de Sturm-Liouville)}

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[\left(x^{k+1}e^{-x} \right)\frac{dy}{dx}\right]+ne^{-x}x^{k}y=0
\end{equation}

\subsection{Fórmula de Rodrigues}

\begin{equation}
L_{n}^{k}(x)=\frac{e^{x}x^{-k}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n+k}e^{-x})
\end{equation}

\subsection{Función generatriz}

\begin{equation}
(-1)^{k}\, t^{k} \frac{e^{-\frac{xt}{1-t}}}{(1-t)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{L^{k}_{n}(x)}{n!}t^{n}
\end{equation}

\subsection{Fórmula de recursividad}

\begin{equation}
\frac{n-k+1}{n+1} L_{n+1}^{k}(x) + \Big(x+m-2n-1\Big) L_n^m(x) + n^2 L^m_{n-1}(x) = 0
\end{equation}


\subsection{Ortogonalidad}

\begin{equation}
\int_{0}^{\infty}L_{m}(x)L_{n}(x)e^{-x}x^{k}\,dx=\frac{(n+k)!}{n!}\delta_{mn}
\end{equation}

\newpage
\section{Funciones de Bessel}

Gráficas de los primeros polinomios de Bessel se pueden encontrar en las siguientes URLs:
\begin{itemize}
\item\url{http://mathworld.wolfram.com/bimg1295.gif}
\item\url{http://www.efunda.com/math/bessel/images/BesselJPlot.gif}
\item\url{http://www.physics.csbsju.edu/QM/i/bessel.J\_m.plot.a.gif}
\end{itemize}

\subsection{Ecuación diferencial}

\begin{equation}
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+x\frac{dy}{dx}+(x^{2}-n^{2})y=0
\end{equation}

\subsection{Ecuación diferencial (forma de Sturm-Liouville)}

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[\left(x \right)\frac{dy}{dx}\right]+\left(x-\frac{n^{2}}{x}\right)y=0
\end{equation}

\subsection{Fórmula de Rodrigues}

\begin{equation}
J_{n}(x)=\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{2p+n}}{p!(n+p)!}
\end{equation}

\subsection{Función generatriz}

\begin{equation}
e^{x(t-1/t)/2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_{n}(x)t^{n}
\end{equation}

\subsection{Fórmula de recursividad}

\begin{equation}
J_{n+1}(x)=\frac{2n}{x}J_{n}(x)-J_{n-1}(x)
\end{equation}

\subsection{Ortogonalidad}

\begin{equation}
\int_0^1 \!\! dx \, x J_n(\lambda_1 x) \, J_n(\lambda_2 x) \quad , \ \textrm{donde}\ J_n(\lambda_i) = 0 \ , \ \lambda_1 \neq \lambda_2
\end{equation}


\newpage
\section{Funciones de Hermite}

Gráficas de los primeros polinomios de Hermite se pueden encontrar en las siguientes URLs:
\begin{itemize}
\item\url{http://mathworld.wolfram.com/himg2089.gif}
\item\url{http://www.efunda.com/math/Hermite/images/HermiteHPlot.gif}
\end{itemize}

\subsection{Ecuación diferencial}

\begin{equation}
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x\frac{dy}{dx}+2ny=0
\end{equation}

\subsection{Ecuación diferencial (forma de Sturm-Liouville)}

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[\left( e^{-x^{2}}\right)\frac{dy}{dx}\right]+2ne^{-x^{2}}y=0
\end{equation}

\subsection{Fórmula de Rodrigues}

\begin{equation}
H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}
\end{equation}

\subsection{Función generatriz}

\begin{equation}
e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}
\end{equation}

\subsection{Fórmula de recursividad}

\begin{equation}
H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)
\end{equation}

\subsection{Ortogonalidad}
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}H_{m}(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}\,dx=2^{n}n!\sqrt{\pi}\delta_{mn}
\end{equation}

\newpage
\section{Polinomios de Chebyshev}

Gráficas de los primeros polinomios de Chebyshev se pueden encontrar en las siguientes URLs:
\begin{itemize}
\item\url{http://mathworld.wolfram.com/c1img2363.gif}
\item\url{http://www.efunda.com/math/Chebyshev/images/ChebyshevTPlot.gif}
\item\url{http://www.ms.uky.edu/~larry/images/graph.gif}
\end{itemize}

\subsection{Ecuación diferencial}

\begin{equation}
(1-x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\frac{dy}{dx}+n^{2}y=0
\end{equation}

\subsection{Ecuación diferencial (forma de Sturm-Liouville)}

\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[\left(\sqrt{1-x^{2}} \right)\frac{dy}{dx}\right]+\frac{n^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}y=0
\end{equation}

\subsection{Fórmula de Rodrigues}

\begin{equation}
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{1-x^{2}}}{(2n-1)(2n-3)\cdots 1} \frac{d^{n}}{dx^{n}}(1-x^{2})^{n-\frac{1}{2}}
\end{equation}

\subsection{Función generatriz}

\begin{equation}
\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)t^{n}
\end{equation}

\subsection{Fórmula de recursividad}

\begin{equation}
T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)
\end{equation}

\subsection{Ortogonalidad}

\begin{equation}
\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}T_{m}(x)T_{n}(x)\,dx= \left\{\begin{array}{ll}\pi & m=n=0\\ \frac{\pi}{2}\delta_{mn} & m=n=N \in \mathbb{N} \end{array}\right.
\end{equation}

\end{document}
